Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии "на пальцах".

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

sin(a) =
s
r
;

cos(a) =
c
r
;

tg(a) =
s
c
;

ctg(a) =
c
s

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA') равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC'D', построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1 2	√2 2	√3 2	1
cos	1	√3 2	√2 2	1 2	0
tg	0	1 √3	1	√3	–
ctg	–	√3	1	1 √3	0

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет

90°
180°

· π =

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Онлайн тренажер
для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов

Подробнее...

Простые тригонометрические тождества

Используя вышеописанные формулы:

sin(a) =
s
r
;

cos(a) =
c
r
;

tg(a) =
s
c
;

ctg(a) =
c
s

тангенс угла выражается через отношение синуса к косинусу:

tg(a) =
s
c
=
sin(a) · r
cos(a) · r
=
sin(a)
cos(a)
;

tg(a) =
sin(a)
cos(a)

Соответственно котангенс выражается аналогично:

ctg(a) =
c
s
=
cos(a) · r
sin(a) · r
=
cos(a)
sin(a)
;

ctg(a) =
cos(a)
sin(a)

Также можно заметить, что произведение тангенса на котангес равно единице:

tg(a) · ctg(a) =
sin(a)
cos(a)
·
cos(a)
sin(a)
=
sin(a) · cos(a)
cos(a) · sin(a)
= 1

Иными словами, тангенс угла обратно пропорционален котангенсу угла и наоборот:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) =
1
ctg(a)
; сtg(a) =
1
tg(a)

Используя теорему Пифагора в треугольнике, что сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы

r² = s² + c² = (sin(a) · r)² + (cos(a) · r)²;
r² · (sin(a)² + cos(a)²) = r²

Сократим обе части на r², получим:

sin²a + cos²a = 1

Разделив обе части на квадрат синуса или квадрат косинуса, получим еще два основных тригонометрических тождества:

1 + tg²a =
1
cos²a
; 1 + ctg²a =
1
sin²a