⬑ Другие статьи

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии "на пальцах".

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

Или в виде формул:

sin(a) =
  • s
  • r
;
cos(a) =
  • c
  • r
;
tg(a) =
  • s
  • c
;
ctg(a) =
  • c
  • s

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA') равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC'D', построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

  30° 45° 60° 90°
sin 0
  • 1
  • 2
  • √2
  • 2
  • √3
  • 2
1
cos 1
  • √3
  • 2
  • √2
  • 2
  • 1
  • 2
0
tg 0
  • 1
  • √3
1 √3
ctg √3 1
  • 1
  • √3
0

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет
  • 90°
  • 180°
· π =
  • 1
  • 2
π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Онлайн тренажер для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов

Онлайн тренажер
для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов


Простые тригонометрические тождества

Используя вышеописанные формулы:

sin(a) =
  • s
  • r
;
cos(a) =
  • c
  • r
;
tg(a) =
  • s
  • c
;
ctg(a) =
  • c
  • s

тангенс угла выражается через отношение синуса к косинусу:

tg(a) =
  • s
  • c
=
  • sin(a) · r
  • cos(a) · r
=
  • sin(a)
  • cos(a)
;
tg(a) =
  • sin(a)
  • cos(a)

Соответственно котангенс выражается аналогично:

ctg(a) =
  • c
  • s
=
  • cos(a) · r
  • sin(a) · r
=
  • cos(a)
  • sin(a)
;
ctg(a) =
  • cos(a)
  • sin(a)

Также можно заметить, что произведение тангенса на котангес равно единице:

tg(a) · ctg(a) =
  • sin(a)
  • cos(a)
·
  • cos(a)
  • sin(a)
=
  • sin(a) · cos(a)
  • cos(a) · sin(a)
= 1

Иными словами, тангенс угла обратно пропорционален котангенсу угла и наоборот:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) =
  • 1
  • ctg(a)
; сtg(a) =
  • 1
  • tg(a)

Используя теорему Пифагора в треугольнике, что сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы

r2 = s2 + c2 = (sin(a) · r)2 + (cos(a) · r)2;
r2 · (sin(a)2 + cos(a)2) = r2

Сократим обе части на r2, получим:

sin2a + cos2a = 1

Разделив обе части на квадрат синуса или квадрат косинуса, получим еще два основных тригонометрических тождества:

1 + tg2a =
  • 1
  • cos2a
; 1 + ctg2a =
  • 1
  • sin2a